神经网络应该由若干神经元组成。
前面的每一个神经元都会给到一个参数，将传递的所有参数看作一个向量 $\vec x$，那么此神经元的净输入为：
$$z = x \omega + b $$
其中 $\omega$ 称为权重向量。
这里认为 $x$ 是行向量，而 $\omega$ 是列向量。
神经元还有一个激活函数 $f(\cdot)$：
$$a = f(z) $$
称为函数的活性值
一般来说，我们使用 Logistic 函数，即 $\sigma(x) = \frac 1 {1 + exp(-x)}$ 作为激活函数。
激活函数
激活函数有很多很多种，一般来说要满足以下几点：
- 连续且可导的非线性函数。
- 函数本身和其导数要尽可能简单。
- 值域要在一个合适的区间内
这里列举几种常见的函数。
Sigmoid 型
指一类两端饱和的 S 型曲线。
饱和：
$\lim_\limits{x \to -\infty} f'(x) = 0$ 称为左饱和，$\lim_\limits{x \to \infty} f'(x) = 0$ 称为右饱和。
同时满足则称为两端饱和。
常见的 Sigmoid 型函数有 Logistic 和 Tanh。
Logistic函数
$$\sigma(x) = \frac 1 {1 + \exp(-x)} $$
其导数：
$$\sigma'(x) = \frac {\exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^2} = \sigma(x) (1 - \sigma(x)) $$
Tanh函数
$${\rm tanh}(x) = \frac {\exp(x) - \exp(-x)}{\exp(x) + \exp(-x)} $$
其可以看作缩放平移后的 $\sigma$，因为：
$${\rm tanh}(x) = 2 \sigma(2x) - 1 $$
自然其导数：
$${\rm tanh}'(x) = 4 \sigma(2x)(1 - \sigma(2x)) = \frac {4}{(\exp(x) + \exp(-x))^2} $$
实际上我们可以通过近似的方法去拟合这个函数，毕竟 $e^x$ 也不是那么好算的。
Hard-Logistic和Hard-Tanh函数
$${\rm hard-\sigma}(x) = \begin{cases} 1 & x > 2 \\ \frac x 4 + \frac 1 2 & x \in [-2, 2] \\ 0 & x < 2 \end{cases} $$
或者利用 $\min, \max$ 简化：
$${\rm hard-\sigma}(x) = \max(\min(\frac x 4 + \frac 1 2, 1), 0) $$
类似的：
$${\rm hard-tanh}(x) = \max(\min(x, 1), -1) $$
ReLU
也就是 Rectified Linear Unit，线性修正单元，定义为：
$${\rm ReLU}(x) = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} $$
也就是 ${\rm ReLU}(x) = \max(x, 0)$
当然，因为可能出现 死亡 ReLU 问题，所以一般有如下变形：
$${\rm PReLU}(x) = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ \gamma x & x < 0 \end{cases} $$
如果 $\gamma = 0$ 则退化为 $\rm ReLU$ 函数，如果 $\gamma < 1$，那么也可以写为：
$${\rm LeakyLU(x)} = \max(x, \gamma x) $$
另一个变形是：
$${\rm ELU}(x) = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ \gamma(\exp(x) - 1) & x < 0 \end{cases} $$
还有一个则是：
$${\rm Softplus}(x) = \log(1 + \exp(x)) $$
Swish 函数
这是一种自控门函数：
$${\rm swish}(x) = x \sigma(\beta x) $$
网络结构
网络结构分三种：
- 前馈网络
- 记忆网络
- 图网络
这里先讲述前馈网络。
这是一个前馈网络的示意图，其中第一层为输入层，最后一层为输出层。
而中间的那些层称为隐藏层。隐藏层可以有多个，而这里只画出了一个。
每一层有若干神经元，而两层间的神经元两两相连。
现在我们定义一些符号：
- $L$ 表示总层数，注意这里输入层为第 $0$ 层，不计入其中；输出层为第 $L$ 层。
- $M_l$ 表示第 $l$ 层的神经元数量。
- $f_l(\cdot)$ 表示第 $l$ 层的激活函数。
- $W^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l \times M_{l - 1}}$ 表示第 $l - 1$ 层到第 $l$ 层的权重矩阵（若干权重向量组成）。
- $b^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}$ 表示第 $l$ 层的偏置。
- $z^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}$ 表示净输入。
- $a^{(l)} \in \mathbb{R}^{M_l}$ 表示输出。
对于一组数据 $(\vec x, y)$，前馈神经网络通过如下算法进行传播：
$$\begin{aligned} z^{(l)} &= W^{(l)} a^{(l - 1)} + b^{(l)} \\ a^{(l)} &= f_l(z^{(l)}) \end{aligned} $$
参数学习
参数学习可能略有点复杂，证明过程我懒得写成 $\LaTeX$，这里就省略了。
我们利用反向传播算法进行学习，其步骤如下：
- 选取一个数据，计算 $a^{(l)}$ 和 $z^{(l)}$。
- 反向传播每一层的误差 $\delta^{(l)}$
- 计算每一层的偏导数，更新参数
显然的是 $\delta^{(L)} = a^{(L)} - y$
经过一番神秘的推导，我们可以得到：
$$\delta^{(l)} = f_l'\left(z^{(l)}\right) \cdot \left( \left( W^{(l + 1)} \right)^T \delta^{(l + 1)} \right) \in \mathbb{R}^{M_l} $$
其中 $\cdot$ 表示元素一一相乘。
而计算偏导数的公式也不难：
$$\begin{aligned} \frac {\partial}{\partial W^{(l)}} R(W) &= \delta^{(l)} \left( a^{(l - 1)} \right)^T \\ \frac {\partial}{\partial b^{(l)}} R(W) &= \delta^{(l)} \end{aligned} $$
也就是参数更新方式为：
$$\begin{aligned} W^{(l)} &\leftarrow W^{(l)} - \alpha \left( \delta^{(l)} \left( a^{(l - 1)} \right)^T + \lambda W^{(l)} \right) \\ b^{(l)} &\leftarrow b^{(l)} - \alpha \delta^{(l)} \end{aligned} $$
但是值得注意的是，一般我们都会将 $W^{(l)}$ 的第一列作为 $b^{(l)}$，也就是不分开，所以在代码实现上要好生注意！
这是吴恩达机器学习 ex4 的部分代码：
function [J grad] = nnCostFunction(nn_params, ...
input_layer_size, ...
hidden_layer_size, ...
num_labels, ...
X, y, lambda)
% Theta1 25 x 401
% Theta2 10 x 26
Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));
Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
num_labels, (hidden_layer_size + 1));
temp1 = Theta1;
temp2 = Theta2;
temp1(:, 1) = 0;
temp2(:, 1) = 0;
m = size(X, 1);
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));
% forward propagation
A2 = sigmoid([ones(m, 1) X] * Theta1'); % m x 25
A3 = sigmoid([ones(m, 1) A2] * Theta2'); % m x 10
% caculate cost
Y = zeros(m, num_labels);
for i = 1:m
Y(i, y(i)) = 1;
end
J -= sum(sum( log(A3) .* Y + log(1 - A3) .* (1 - Y) ));
J += lambda / 2 * (sum(sum(temp1 .* temp1)) + sum(sum(temp2 .* temp2)));
J /= m;
% Back Propagation
D1 = zeros(size(Theta1));
D2 = zeros(size(Theta2));
for i = 1:m
a1 = X(i, :); % 1 x 400
a2 = A2(i, :); % 1 x 25
a3 = A3(i, :); % 1 x 10
y = Y(i, :); % 1 x 10
d3 = (a3 - y)'; % 10 x 1
d2 = (Theta2' * d3) .* [1 a2]' .* (1 - [1 a2])'; % 26 x 1
d2 = d2(2:end) ; % 25 x 1
D1 += d2 * [1 a1];
D2 += d3 * [1 a2];
end
Theta1_grad = (D1 + lambda * temp1) / m;
Theta2_grad = (D2 + lambda * temp2) / m;
% Unroll gradients
grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];
end